工学的目的としては短周期領域の地震動が欲しいが、このような成分は波動伝播経路の微細な構造に強く影響されることが知られており、理論的な解を求めることが不可能である。過去に発生した中小地震の観測記録を用いて大地震の地震動を評価する手法がHartzellによって提案された。
半経験的地震動評価法の基礎
・大地震と小地震の断層パラメータ間の相似則の仮定
・大地震と小地震の地震モーメント比に基づく重ね合わせ数の決定
断層モデルによる遠方の地震動変位
破壊伝搬速度一定でバイディレクショナルに変位食い違いが伝搬していくことを考える。このとき断層面∑から放出されたS波による遠方場の変位のフーリエ変換は前章の遠方場の理論地震動で求めたものから算出できる。立ち上がり時間をnd個の傾斜関数⊿d(t)に分割する。また大地震の断層面を小領域⊿∑に分割する。このとき断層面∑のフーリエスペクトルは、各小領域⊿∑でのフーリエスペクトルの和であらわされる。
半経験的地震動評価法の基礎式
すべての小領域⊿∑における小地震の観測記録は当然ないため、断層パラメータが分割した小領域の破壊と一致するような小地震を用いて、各小領域のスペクトルを近似的に与えることを考える。考えている小領域の大きさに対して十分に遠方の観測点では、幾何減衰やラディエーションパターンの効果が小領域の内部でほぼ一定となる。観測点でも同様。
単純な断層モデルに基づいて遠方における大地震と小地震の地震動間に成り立つ近似的な関係を導いた。現実の伝播経路はここまで単純ではないが、どんなに複雑だとしても小地震と大地震でほぼ共通であるとしたら、両者の地震間の関係は大まかには断層運動の関係のみで決定されることになる。
断層パラメータの相似則と重ね合わせ数
大地震の地震動を評価するためには重ね合わせ数nL、nW、nDを与える必要がある。一般に小地震の断層パラメータは明らかにされていないことが多いためこれを困難にしている。実地震の断層パラメータ間に成り立つ平均的な関係をもとにして重ね合わせ数が仮定される。
地震モーメント Mo = μ*D0*A
地震モーメントと断層面積の関係 Mo~A^(3/2)
平均的な矩形断層の形 L = 2W
以上から Mo~ L^3 Do ~ L
地震発生前後における断層面上のせん断応力の差⊿σは応力降下量といわれるが、これは食い違い理論から ⊿σ ＝ (const.)μ*D0/√A
上式DoとAの関係を代入すると応力降下量は地震規模に関係ないことがわかる。このように地震発生位置をある程度限ってみると断層パラメータの値には平均的には一定の比例関係にあり、⊿σも地震規模にはよらず一定の値をとることがわかる。
つまり大地震と小地震の断層パラメータ間に相似則を仮定すると
L/⊿L ＝ W/⊿W ＝ D0/⊿D0 ＝ nL = nW = nD = n
nは地震モーメントの比から
n = (Mo(大)/Mo（小）)^(1/3)
となる。
地震動評価式のバリエーション
一様な断層破壊に基づく評価式と課題
前節までの方法は一様な断層破壊に基づくという点で、基本的にハスケルモデルと同様に長周期地震動はよく表現できるが、次節に述べるように短周期地震動を過小評価するという性質をもっている。
小地震の重ね合わせ方のバリエーション
【まとめ 地震動】理論地震動評価４
遠方場の理論地震動
震源スペクトル、有限震源における破壊伝搬効果、コーナー周波数
遠方場の変位スペクトルと震源スペクトル
震源スペクトルでωを０に近づけたときの値が地震モーメントに一致する。
破壊伝搬する有限震源による遠方のS波
点震源でなく、有限な広がりを持つ断層面上の一点で起こった破壊が断層面上を伝搬することを考える。
断層の大きさに比して十分に遠方の観測地点における地震波はどのようになるだろうか？
ユニラテラル破壊伝搬する有限長線震源による遠方でのS波の変位波形
断層幅Wが断層長さLに対して十分に小さい線震源における変位波形を考える。震源時間関数として、ランプ関数を用いると、変位波形は台形状のパルスとなる。破壊伝搬速度をS波、P波速度でそれぞれ除した値が大きいほど、ディレクティビティが顕著にみられる。
ユニラテラル破壊伝搬する有限長線震源による遠方でのS波の変位スペクトル
コーナー各周波数は破壊伝搬方向と観測点の方向とのなす角によって変化し、破壊伝搬方向にある観測点の方がコーナー周波数は大きくなる。つまり高周波数成分が増える。破壊継続時間と立ち上がり時間に関係するコーナー周波数で、震源スペクトルの包絡形は制御される。最初のコーナー周波数までの低周波数領域では点震源近似が成り立つが、それより大きい高周波領域では破壊伝搬に関する震源内部の不均質性の程度が観測点でのスペクトルに大きく影響する。平均的な破壊伝搬速度は震源規模によらないが、規模の大きい地震ほど破壊伝搬時間は長くなり、コーナー角周波数も低周波側に移動する。よって大きい地震ほど、震源内部の不均質性の影響が低周波から現れやすい。
ユニラテラル破壊伝搬する矩形断層による遠方でのS波の変位スペクトル
ハスケルモデルを考える。立ち上がり時間、断層長さL、断層幅Wに関係したコーナー周波数が得られる。しかし、実際の地震記録の高周波数成分はω３乗モデルでは過小評価であり、ω２乗モデルあるいはそれに近い場合が多い。矩形モデルに不均質な破壊過程を考慮したモデルは合理的なモデルの一つと考えられる。逆にハスケルモデルのような巨視的断層モデルでは、地震記録から求められた震源スペクトルのコーナー周波数よりも高周波数成分をシミュレートすることは困難である。震源スペクトルのスケーリング則。
巨視的断層モデルによる理論地震動の適用性
震源スペクトル、有限震源における破壊伝搬効果、コーナー周波数
遠方場の変位スペクトルと震源スペクトル
震源スペクトルでωを０に近づけたときの値が地震モーメントに一致する。
破壊伝搬する有限震源による遠方のS波
点震源でなく、有限な広がりを持つ断層面上の一点で起こった破壊が断層面上を伝搬することを考える。
断層の大きさに比して十分に遠方の観測地点における地震波はどのようになるだろうか？
ユニラテラル破壊伝搬する有限長線震源による遠方でのS波の変位波形
断層幅Wが断層長さLに対して十分に小さい線震源における変位波形を考える。震源時間関数として、ランプ関数を用いると、変位波形は台形状のパルスとなる。破壊伝搬速度をS波、P波速度でそれぞれ除した値が大きいほど、ディレクティビティが顕著にみられる。
ユニラテラル破壊伝搬する有限長線震源による遠方でのS波の変位スペクトル
コーナー各周波数は破壊伝搬方向と観測点の方向とのなす角によって変化し、破壊伝搬方向にある観測点の方がコーナー周波数は大きくなる。つまり高周波数成分が増える。破壊継続時間と立ち上がり時間に関係するコーナー周波数で、震源スペクトルの包絡形は制御される。最初のコーナー周波数までの低周波数領域では点震源近似が成り立つが、それより大きい高周波領域では破壊伝搬に関する震源内部の不均質性の程度が観測点でのスペクトルに大きく影響する。平均的な破壊伝搬速度は震源規模によらないが、規模の大きい地震ほど破壊伝搬時間は長くなり、コーナー角周波数も低周波側に移動する。よって大きい地震ほど、震源内部の不均質性の影響が低周波から現れやすい。
ユニラテラル破壊伝搬する矩形断層による遠方でのS波の変位スペクトル
ハスケルモデルを考える。立ち上がり時間、断層長さL、断層幅Wに関係したコーナー周波数が得られる。しかし、実際の地震記録の高周波数成分はω３乗モデルでは過小評価であり、ω２乗モデルあるいはそれに近い場合が多い。矩形モデルに不均質な破壊過程を考慮したモデルは合理的なモデルの一つと考えられる。逆にハスケルモデルのような巨視的断層モデルでは、地震記録から求められた震源スペクトルのコーナー周波数よりも高周波数成分をシミュレートすることは困難である。震源スペクトルのスケーリング則。
巨視的断層モデルによる理論地震動の適用性
【まとめ 地震動】理論地震動評価
三次元の均質等方な全無限弾性体における理論地震動
地球を三次元の均質等方線形な全無限弾性体と仮定し、ディスロケーションモデルによって全無限弾性体中の任意の点に生じる動的変位応答すなわち理論地震動を求める式を誘導する。この仮定はかなり大胆だが、このような単純な仮定のもとにおいてはグリーン関数は解析的に簡単な形で求められているために、理論地震動の基本的な特性を理解しやすい。また観測波形の実体波の初めの部分はこれでもよく説明できることが1960年代に示されたことにより、地震学の発展に大きく貢献したという歴史的経緯がある。
せん断食い違い型点震源による理論地震動
断層面積Aの断層面上の各点で同時に同一の食い違いが起こる、すなわち震源時間関数が断層面上の各点において同一で、断層運動を点ξに集約させた点震源を考える。三次元の均質等方線形な全無限弾性体におけるグリーン関数は得られている。これを前章で求めたせん断食い違い型点震源の変位場の式に代入し、解を求める。このとき変位場の式は、近地項、S、P波中間項、S、P波遠地項の5つに分かれ、それぞれにラディエーションパターンが得られる。震源地震関数として傾斜関数(ramp function)を考える。遠地では傾斜関数の時間微分であるボックス関数の形をした短形パルスが得られる。
周波数領域における理論地震動
変位場の式をフーリエ変換し、P、S波項に分離しそれぞれを遠地項、近地項、中間項に分ける。波の波長に対して観測地点までの距離が数倍以下ならば近地項が卓越する。したがって、この条件を満たすωが小さな低周波数（長周期）領域、震源距離が小さな震源近傍では近地項が卓越する。遠地項ではωの大きな高周波数（短周期）領域、震源距離が大きな観測地点では遠地項が卓越する。強震動の研究において遠地S波項のみが考慮されるのはこの理由である。
理論地震動の振幅の方位特性（ラディエーションパターン）
ハスケルモデル
矩形断層の1辺で生じた相対変位が断層の長さ方向に一定の破壊伝搬速度で伝搬するものである。この破壊伝播様式はユニラテラル破壊伝播と呼ばれる。断層パラメータは静的なもの（断層長さL、断層幅W、最終相対変位D）と動的なもの（立ち上がり時間、破壊伝搬速度）の5つになる。
地球を三次元の均質等方線形な全無限弾性体と仮定し、ディスロケーションモデルによって全無限弾性体中の任意の点に生じる動的変位応答すなわち理論地震動を求める式を誘導する。この仮定はかなり大胆だが、このような単純な仮定のもとにおいてはグリーン関数は解析的に簡単な形で求められているために、理論地震動の基本的な特性を理解しやすい。また観測波形の実体波の初めの部分はこれでもよく説明できることが1960年代に示されたことにより、地震学の発展に大きく貢献したという歴史的経緯がある。
せん断食い違い型点震源による理論地震動
断層面積Aの断層面上の各点で同時に同一の食い違いが起こる、すなわち震源時間関数が断層面上の各点において同一で、断層運動を点ξに集約させた点震源を考える。三次元の均質等方線形な全無限弾性体におけるグリーン関数は得られている。これを前章で求めたせん断食い違い型点震源の変位場の式に代入し、解を求める。このとき変位場の式は、近地項、S、P波中間項、S、P波遠地項の5つに分かれ、それぞれにラディエーションパターンが得られる。震源地震関数として傾斜関数(ramp function)を考える。遠地では傾斜関数の時間微分であるボックス関数の形をした短形パルスが得られる。
周波数領域における理論地震動
変位場の式をフーリエ変換し、P、S波項に分離しそれぞれを遠地項、近地項、中間項に分ける。波の波長に対して観測地点までの距離が数倍以下ならば近地項が卓越する。したがって、この条件を満たすωが小さな低周波数（長周期）領域、震源距離が小さな震源近傍では近地項が卓越する。遠地項ではωの大きな高周波数（短周期）領域、震源距離が大きな観測地点では遠地項が卓越する。強震動の研究において遠地S波項のみが考慮されるのはこの理由である。
理論地震動の振幅の方位特性（ラディエーションパターン）
ハスケルモデル
矩形断層の1辺で生じた相対変位が断層の長さ方向に一定の破壊伝搬速度で伝搬するものである。この破壊伝播様式はユニラテラル破壊伝播と呼ばれる。断層パラメータは静的なもの（断層長さL、断層幅W、最終相対変位D）と動的なもの（立ち上がり時間、破壊伝搬速度）の5つになる。
【まとめ 地震動】理論的地震動評価 ２
表現定理
・2階の偏微分方程式（変数変換によって常微分方程式に変換する、変数分離法。積分方程式に直す、グリーン関数を用いた解法）
任意の面に働く表面力（T=n・σ）
境界問題の種類
べッティの相反定理
グリーン関数
線形弾性体の動的変位場の表現定理
運動学的断層モデルによる理論地震動
運動学的断層モデル
1.弾性体内部に切れ目をいれ、新たなる内部境界面Σを作る。このとき内部断層面はΣ＋と∑－をもつ。
2.境界面Σを境にしてその両側をお互いに同時に境界面Σに並行かつ逆方向に滑らせて変異の不連続を与える。この変異の不連続を相対変位、ずれ、滑りという。
3.変位の不連続を与えた状態のまま境界面Σを密着させる。このとき境界面上での表面力は連続となるが、変位の不連続によって境界面Σ付近がゆがんだ状態となる。この状態をせん断食い違いという。
2で変位の不連続の時間変化や、破壊伝播様式といった運動学的パラメータを先験的に境界条件として与える。
運動学的断層モデルによる弾性体の動的変位場（断層面に相当する境界Σより外側の領域Vに対して表現定理を適応する。前節で求めた相対変位の式と表面力の連続条件、物体力が作用しないことを用いると変位場の式が得られる。）
断層面上の相対変位と物体力との等価性（デルタ関数の空間微分は、大きさが等しく互いに反対方向に作用するシングル力の組み合わせを意味する。三次元問題の場合にはカップルの種類は9個になり、力の方向とカップルの腕の方向が一致するダイポールと、異なるダブルカップルがある。
モーメント密度テンソルを用いた理論地震動の表示式（モーメント密度テンソルを用いると、断層面上の相対変位による観測点での変位は、断層面上の各点ξに分布するカップルの組み合わせをそれぞれのカップルの大きさを表すモーメント密度テンソルで重みづけして、断層面上で積分した結果として得られることがわかる。断層面上の相対変位が、断層面と平行なせん断食い違いの場合、断層面ベクトルと同じ方向の食い違いの場合、等方膨張の場合のモーメントテンソルの具体的表現を示せ。食い違いを時間の関数として与える。）
地震モーメント（各断層面上の点でモーメント密度テンソルを与えたが、より簡単に地震の全体像を把握するためには点震源としての表現式が有効であり、これは断層面上で地震モーメントテンソルを積分することによって得られる。これをモーメントテンソルという。）
・2階の偏微分方程式（変数変換によって常微分方程式に変換する、変数分離法。積分方程式に直す、グリーン関数を用いた解法）
任意の面に働く表面力（T=n・σ）
境界問題の種類
べッティの相反定理
グリーン関数
線形弾性体の動的変位場の表現定理
運動学的断層モデルによる理論地震動
運動学的断層モデル
1.弾性体内部に切れ目をいれ、新たなる内部境界面Σを作る。このとき内部断層面はΣ＋と∑－をもつ。
2.境界面Σを境にしてその両側をお互いに同時に境界面Σに並行かつ逆方向に滑らせて変異の不連続を与える。この変異の不連続を相対変位、ずれ、滑りという。
3.変位の不連続を与えた状態のまま境界面Σを密着させる。このとき境界面上での表面力は連続となるが、変位の不連続によって境界面Σ付近がゆがんだ状態となる。この状態をせん断食い違いという。
2で変位の不連続の時間変化や、破壊伝播様式といった運動学的パラメータを先験的に境界条件として与える。
運動学的断層モデルによる弾性体の動的変位場（断層面に相当する境界Σより外側の領域Vに対して表現定理を適応する。前節で求めた相対変位の式と表面力の連続条件、物体力が作用しないことを用いると変位場の式が得られる。）
断層面上の相対変位と物体力との等価性（デルタ関数の空間微分は、大きさが等しく互いに反対方向に作用するシングル力の組み合わせを意味する。三次元問題の場合にはカップルの種類は9個になり、力の方向とカップルの腕の方向が一致するダイポールと、異なるダブルカップルがある。
モーメント密度テンソルを用いた理論地震動の表示式（モーメント密度テンソルを用いると、断層面上の相対変位による観測点での変位は、断層面上の各点ξに分布するカップルの組み合わせをそれぞれのカップルの大きさを表すモーメント密度テンソルで重みづけして、断層面上で積分した結果として得られることがわかる。断層面上の相対変位が、断層面と平行なせん断食い違いの場合、断層面ベクトルと同じ方向の食い違いの場合、等方膨張の場合のモーメントテンソルの具体的表現を示せ。食い違いを時間の関数として与える。）
地震モーメント（各断層面上の点でモーメント密度テンソルを与えたが、より簡単に地震の全体像を把握するためには点震源としての表現式が有効であり、これは断層面上で地震モーメントテンソルを積分することによって得られる。これをモーメントテンソルという。）
【地震動、目次】理論的地震動
弾性体の運動方程式と波動方程式
・連続体の運動方程式（微小な立方体の釣り合い式を解いて得られる）
・微小歪の定義と構成方程式（ひずみの定義は幾何学、構成方程式は経験式。運動方程式の未知数は応力が6つ（9つだが対称性を利用して）、変位が3つ。構成方程式は応力とひずみの間の9つの式となる。）
・変位で表現された線形弾性体の運動方程式（以上で得られた内容から運動方程式を作成）
・スカラーの勾配、ベクトルの回転、発散
・等方線形弾性体の運動方程式（弾性定数、ナビエの方程式の成分表示とベクトル表示）
・P波及びS波の波動方程式（ヘルムホルツの定理を用いてナビエ方程式を解く）
・実体波とナビエの方程式
・連続体の運動方程式（微小な立方体の釣り合い式を解いて得られる）
・微小歪の定義と構成方程式（ひずみの定義は幾何学、構成方程式は経験式。運動方程式の未知数は応力が6つ（9つだが対称性を利用して）、変位が3つ。構成方程式は応力とひずみの間の9つの式となる。）
・変位で表現された線形弾性体の運動方程式（以上で得られた内容から運動方程式を作成）
・スカラーの勾配、ベクトルの回転、発散
・等方線形弾性体の運動方程式（弾性定数、ナビエの方程式の成分表示とベクトル表示）
・P波及びS波の波動方程式（ヘルムホルツの定理を用いてナビエ方程式を解く）
・実体波とナビエの方程式
【まとめ、地震動】理論的地震動評価
地震動 ―その合成と波形処理― より
断層モデルの理論的評価法は2つ
・破壊力学に基づく 動力学的モデル(dynamic model)あるいは応力緩和モデル(stress relaxation model)
・転移論を連続体に拡張した運動学的モデル(kinetic model)あるいはdislocation model。
実際の断層運動はずれの量やその方向は断層面内で均一でないことから、もっと複雑。
短周期成分は破壊過程と密接に関係するが、断層破壊に要する時間よりも長い周期領域では複雑な破壊過程は影響しない。長周期領域を対象として断層パラメータを設定し、平均的な破壊過程をモデル化したものを巨視的断層モデルという。
波動伝播性状の理論的モデル化
媒質モデルの過程→単位の力を加えたときの任意点での応答（グリーン関数を解く）
媒質の種類
全無限一様媒質、半無限一様媒質、半無限成層媒質
実体波、表面波
断層モデルの理論的評価法は2つ
・破壊力学に基づく 動力学的モデル(dynamic model)あるいは応力緩和モデル(stress relaxation model)
・転移論を連続体に拡張した運動学的モデル(kinetic model)あるいはdislocation model。
実際の断層運動はずれの量やその方向は断層面内で均一でないことから、もっと複雑。
短周期成分は破壊過程と密接に関係するが、断層破壊に要する時間よりも長い周期領域では複雑な破壊過程は影響しない。長周期領域を対象として断層パラメータを設定し、平均的な破壊過程をモデル化したものを巨視的断層モデルという。
波動伝播性状の理論的モデル化
媒質モデルの過程→単位の力を加えたときの任意点での応答（グリーン関数を解く）
媒質の種類
全無限一様媒質、半無限一様媒質、半無限成層媒質
実体波、表面波
